Solve the equations x^4+y^4=257, x+y=5.

x^4+y^4=257............(1)

x+y=5

x^4+y^4

=(x^2)^2+(y^2)^2

=(x^2+y^2)^2
- 2*x^2*y^2

={[(x+y)^2 - 2xy]^2 -
2*x^2*y^2}

={[(x+y)^2 - 2xy]^2 -
2(xy)^2}

=(25-2xy)^2 - 2(xy)^2                [ because
(x+y)=5 ]

put z=xy

so        
 x^4+y^4=(25-2z)^2 - 2z^2

257=(25-2z)^2 - 2z^2         [
because (x^4+y^4)=257
]

257=625-100z+4z^2- 2z^2

257=625-100z+2z^2

2z^2-100z+368=0

z^2-50z+184=0

z^2-4z-46z+184=0

z(z-4)-46(z-4)=0

(z-46)(z-4)=0

(z-46)=0
        or            (z-4)=0

z=46               or        
        z=4

so   xy=46       or              
 xy=4

when xy=46                          
 xy=4

(1)=> x=(5-y)                  (1)=>
x=(5-y)

(5-y)y=46                          
(5-y)y=4

y^2-5y+46=0              
y^2-5y+4=0

Delta<0                    
y^2-y-4y+4=0

then                        
y(y-1)-4(y-1)=0

so                                
(y-4)(y-1)=0

.                             (y-4)=0    or  
  (y-1)=0

.                                   y=4    or    
     y=1

so                                x=1    or      
   x=4

.                   Answer is  
{x=1;y=4}

.                                    
{y=1;x=4}